Denis Maillet^1, ⋆
⋆ : denis.maillet@univ-lorraine.fr
¹ LEMTA, Université de Lorraine
Mots clés : identification expérimentale ; déconvolution; régularisation;
Résumé :

Les modèles convolutifs causaux permettent d’exprimer l’évolution dynamique d’un signal de sortie, en fonction d’une entrée et d’une réponse impulsionnelle lorsque certaines conditions de linéarité et d’invariance en temps sont réunies. Pour une entrée instationnaire donnée (source thermique unique, en température ou en puissance), la réponse en température (sortie) en un point du système est un produit de convolution de cette entrée et de la réponse impulsionnelle.

Généralement, on observe la sortie en des instants discrets et isochrones, et il en est de même pour l’entrée, et donc pour la réponse impulsionnelle. Le produit de convolution continu peut alors être mis sous la forme d’une relation matricielle linéaire entre le vecteur d’entrée et le vecteur des valeurs échantillonnées de la réponse impulsionnelle, où la matrice carrée du système est une matrice de Toeplitz triangulaire inférieure, qui dépend seulement du vecteur des entrées. Cette relation peut être également écrite en utilisant les « doses » de la réponse impulsionnelle et de l’entrée, c’est-à-dire les intégrales de chacune de ces deux fonctions sur chacun des pas de temps. Ces doses peuvent être approximées par le produit du pas de temps par la moyenne arithmétique des valeurs de ces deux fonctions aux bornes de chaque intervalle.

La calibration expérimentale, appelée aussi identification, de la réponse impulsionnelle d’un système matériel diffusif nécessite donc l’inversion du système linéaire carré précédent, pour des entrée et sortie mesurées. Du fait de la présence d’un bruit dans ces deux signaux, le problème inverse est « mal-posé » et requière une régularisation pour récupérer des valeurs estimées stables de la réponse impulsionnelle. De nombreuses techniques de régularisation existent (troncature de la décomposition en valeurs singulières, régularisation de Tikhonov, etc…), pour assurer cette stabilité, mais celles-ci présentent le défaut d’être entachées d’un biais lié à la nature (forme, durée) et à la structure du paramétrage de l’entrée (pas de temps identique à celui de la sortie): en l’absence de bruit de mesure, l’inversion ne permet pas de récupérer les valeurs échantillonnées exactes de la réponse impulsionnelle.

Le travail présenté correspond à une approche où la paramétrisation de l’entrée est adaptée à sa forme temporelle, en ne gardant qu’un nombre limité de points de collocation, choisis parmi les temps initiaux d’échantillonnage, et en supposant une constance de l’entrée entre ces temps non isochrones. Ceci est effectué en se fixant un écart absolu à ne pas dépasser entre le cumul de l’entrée exacte et celui de l’entrée paramétrée de façon linéaire entre deux temps de collocation adjacents. Cette technique de paramétrisation non isochrone par cumuls fait naturellement intervenir la notion de dose, ici en joule, pour une entrée en puissance (impédance thermique) ou en kelvin.seconde pour une entrée en température (transmittance thermique). La réponse impulsionnelle est paramétrée également sur les mêmes intervalles temporels.

Il en résulte un système linéaire qui n’est plus carré, mais rectangulaire, pour l’identification, ce qui améliore le conditionnement. Les potentialités de cette approche sont étudiées dans ce travail exploratoire, en utilisant des signaux simulés, sans puis avec bruit.

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